समाकलन int {cos left( {{{log }_e}x} right)dx} | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \cos(\log_e x) dx$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \cos(\log_e x)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = -\sin(\lo

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$\frac{x}{2}\left[ {\cos \left( {{{\log }_e}x} \right) + \sin \left( {{{\log }_e}x} \right)} \right] + C$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \cos(\log_e x) dx$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \cos(\log_e x)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = -\sin(\log_e x) \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है। $I = x \cos(\log_e x) - \int x \left( -\sin(\log_e x) \cdot \frac{1}{x} \right) dx$ $I = x \cos(\log_e x) + \int \sin(\log_e x) dx$. अब,$\int \sin(\log_e x) dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $u = \sin(\log_e x)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = \cos(\log_e x) \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है। $\int \sin(\log_e x) dx = x \sin(\log_e x) - \int x \left( \cos(\log_e x) \cdot \frac{1}{x} \right) dx = x \sin(\log_e x) - I$. इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $I = x \cos(\log_e x) + x \sin(\log_e x) - I$ $2I = x(\cos(\log_e x) + \sin(\log_e x))$ $I = \frac{x}{2}(\cos(\log_e x) + \sin(\log_e x)) + C$.

समाकलन $\int {\cos \left( {{{\log }_e}x} \right)dx} $ किसके बराबर है? (जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है)

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यदि $n \in N$ और $I_{n}=\int(\log x)^{n} dx$ है,तो $I_{n}+n I_{n-1}$ किसके बराबर है?

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